Комплексные числа: примеры с решением

Примеры с решением комплексных чисел даны в конце статьи, а пока разберемся с тем, что же такое комплексные числа.

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом .

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: , в котором мнимая единица , числа вещественные. 

Если положить , то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества . К слову говоря также возможно, что .

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как , а действительную .

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу существует такое, что , которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Форма комплексного числа

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

  1. Алгебраическая
  2. Показательная
  3. Тригонометрическая

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение комплексных чисел

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

комплексные числаВидим, что расположены на соответствующих осях плоскости. 

Комплексное число представляется в виде вектора .

Аргумент обозначается .

Модуль равняется длине вектора   и находится по формуле

Аргумент комплексного числа нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Если:

  1. , то
  2. , то 
  3. , то 

Операции над комплексными числами

Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:

  • Складывать и вычитать
  • Умножать и делить
  • Извлекать корни и возводить в степень
  • Переводить из одной формы в другую 

Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:

Умножение в алгебраической форме:

Умножение в показательной форме:

Деление в алгебраической форме:

Деление в показательной форме:

Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:

Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:

Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если , то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.

Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.

Примеры с решением

Пример 1
Перевести из алгебраической в тригонометрическую и показательную форму:
Решение

Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа:

Осталось найти аргумент:

Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера:

Тут же можно записать показательную форму:

Ответ

Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание
Пример 2

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Решение

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Ответ
Пример 3

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Решение

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что :

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание
Пример 4
Возвести комплексное число в степень: a) б)
Решение

1)

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

Получили ответ, что

2)

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень :

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Ответ

 

Пример 5
Извлечь корень над множеством
Решение

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Получаем:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень , то по формуле :

Ответ

Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание
Пример 6
Решить квадратное уравнение над
Решение

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант

Получили, что и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение:

Заметим, что и продолжим вычисление:

Получили комплексно-сопряженные корни:

Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.

Ответ

В статье "Комплексные числа: примеры с решением" было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ