Интегралы для чайников: примеры решений

Процесс решения интегралов в науке под названием "математика" называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.

Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: . Отличительная черта написание определенного интеграла от неопределенного в том, что есть пределы интегрирования a и b. Сейчас узнаем для чего они нужны, и что всё-таки значит определенный интеграл. В геометрическом смысле такой интеграл равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), линиями a и b, и осью Ох.

Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание

как решать интегралы для чайников

Из рис.1 видно, что определенный интеграл - это и есть та самая площадь, что закрашена серым цветом. Давайте, проверим это на простейшем примере. Найдем площадь фигуры на изображении представленном ниже с помощью интегрирования, а затем вычислим её обычным способом умножения длины на ширину.

как решать интегралы примеры решения

Из рис.2 видно, что , . Теперь подставим их в определение интеграла, получаем, что    Сделаем проверку обычным способом. В нашем случае длина = 3, ширина фигуры = 1.  Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов - это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так - первообразная . Для решения интеграла нужно интегрировать функцию по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Свойства интегралов
  • Вынос константы из под знака интеграла
  • Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций
  • Изменение направления интегрирования

Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание
 

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов
  1. Узнаем определенный интеграл или нет.
  2. Если неопределенный, то нужно найти первообразную функцию от подынтегральной с помощью математических преобразований приводящих к табличному виду функцию .
  3. Если определенный, то нужно выполнить шаг 2, а затем подставить пределы и  в первообразную функцию . По какой формуле это сделать узнаете в статье "Формула Ньютона Лейбница".

Как решать интегралы: примеры решения

Пример 1
Решение

Данный интеграл содержит под своим знаком табличную функцию, а это значит, что можно сразу записать ответ взятый из таблицы.

Ответ
Пример 2
Решение

Замечаем, что под знаком интеграла есть постоянная 3. По первому свойству можно ее вынести за значок интеграла. Далее, видим, что подынтегральная функция является табличной и получаем из нее первообразную для f(x)=x.

Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 2 часов
подробное написание
Пример 3
Решение
  
Ответ

Проанализировав неопределенный интеграл заметили, что подынтегральные функции являются табличными. И дана их сумма. Можно воспользоваться свойством номер 2. Значит, производим операции над функцией и согласно указанным в табличке преобразованиям. Так как интеграл неопределенный, то получаем в ответе первообразную.

Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ