Интегралы для чайников: примеры решений

Процесс решения интегралов в науке под названием "математика" называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.

Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: $$\int ^a _b f(x) dx $$ Отличительная черта написание определенного интеграла от неопределенного в том, что есть пределы интегрирования a и b. Сейчас узнаем для чего они нужны, и что всё-таки значит определенный интеграл. В геометрическом смысле такой интеграл равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), линиями a и b, и осью Ох.

как решать интегралы для чайников

Из рис.1 видно, что определенный интеграл - это и есть та самая площадь, что закрашена серым цветом. Давайте, проверим это на простейшем примере. Найдем площадь фигуры на изображении представленном ниже с помощью интегрирования, а затем вычислим её обычным способом умножения длины на ширину.

как решать интегралы примеры решения

Из рис.2 видно, что y=f(x)=3, a=1, b=2. Теперь подставим их в определение интеграла, получаем, что $$S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$=(3x) \Big|_1 ^2=(3 \cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 ед^2 $$ Сделаем проверку обычным способом. В нашем случае длина = 3, ширина фигуры = 1. $$S = длина \cdot ширина = 3 \cdot 1 = 3 ед^2$$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов - это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$\int f(x) dx = F(x) + C$$ где F(x) - первообразная f(x),  C = const

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию f(x) по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции f(x) путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Свойства интегралов
  • Вынос константы из под знака интеграла $$\int C f(x) dx = C \int f(x) dx $$
  • Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций $$ \int (f(x) \pm g(x)) dx =$$ $$ \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
  • Изменение направления интегрирования $$\int _a ^b f(x) = -\int _b ^a f(x) dx $$
  • $$\int _a ^b f(x) dx = $$ $$= \int _a ^c f(x) dx + \int _c ^b f(x) dx$$ $$ c \in (a,b)$$

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов
  1. Узнаем определенный интеграл или нет.
  2. Если неопределенный, то нужно найти первообразную функцию F(x) от подынтегральной f(x) с помощью математических преобразований приводящих к табличному виду функцию f(x).
  3. Если определенный, то нужно выполнить шаг 2, а затем подставить пределы а и b в первообразную функцию F(x). По какой формуле это сделать узнаете в статье "Формула Ньютона Лейбница".

Как решать интегралы: примеры решения

Пример 1

$$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C, C=const$$

Данный интеграл содержит под своим знаком табличную функцию, а это значит, что можно сразу записать ответ взятый из таблицы.

Пример 2

$$\int 3xdx = 3\int xdx = \frac{3x^2}{2}+C$$

Замечаем, что под знаком интеграла есть постоянная 3. По первому свойству можно ее вынести за значок интеграла. Далее, видим, что подынтегральная функция является табличной и получаем из нее первообразную для f(x)=x.

Пример 3

$$\int (x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}) dx =$$ $$=\int x^3 dx + \int  \frac{1}{2\sqrt{x}}dx =$$ $$= \frac{x^4}{4}+\sqrt{x} + C, C=const$$

Проанализировав неопределенный интеграл заметили, что подынтегральные функции являются табличными. И дана их сумма. Можно воспользоваться свойством номер 2. Значит, производим операции над функцией f(x) и g(x) согласно указанным в табличке преобразованиям. Т.к. интеграл неопределенный, то получаем в ответе первообразную.

Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.